Eindige Element Analise van Gelamineerde Veselversterkte Plate / Finite Analysis Element of Laminated Vesel Reinforced Plate

 

 

J. van der Westhuizen^I; J. J. van Wyk^II

^ISenior Lektor, Departement Meganiese Ingenieurswese. Universiteit van Stellenbosch
^IIMagisterstudent, Universiteit van Stellenbosch

 

 

---

ABSTRACT

A C₀ finite element is formulated for the analysis of laminated anisotropic composite plates, based on Mindlin plate bending theory with shear correction. A quadratic Serendipity element based on this formulation is added to the ADINA finite element program and its numeric results are compared with other elements and closed form solutions for laminated composite plates.

---

 

 

Simbolelys

a element-vryheidsgrade

A_ij styfheid in plaatvlak

B_ij koppelstyfheid

D_ijbuigstyfheid

E Young se modulus

E_ij skuifstyfheid

E_ijkl algemene styfheidskoëffisiënt

G skuifmodulus

h dikte van lamina

K₁,

K₂ dwarsskuifkorreksiefaktore

Mij buigmoment per eenheidsbreedte

vormfunksie

N_iJ krag per eenheidsbreedte

lamina-styfheid

Q_ij dwarsskuifkrag per eenheidsbreedte

t plaatdikte

u x-verplasing

V y-verplasing

w z-verplasing

γdwarsskuifvervormingsvektor

γ_ijskuifvervorming

Γinverse van twee-dimensionele Jakobiaan

ϵ_ij normaalvervorming

θ_irotasie-vryheidsgraad

ν_ij Poisson se verhouding

σ_ijspanning

Φ veseloriëntasie

χ krommingsvektor

 

voetskrifte

c plaat-middelpunt

L veselrigting

O plaat-middelvlak

T' rigting dwars op vesels

T' dikte-rigting

 

Inleiding

Veselplastieke (veselversterkte saamgestelde materiale) word oor die afgelope aantal jare al hoe meer toegepas in ingenieur-strukture, veral in gelamineerde-plaatvorm. Die materiaal het twee inherente voordele bo ander ingenieursmateriale, naamlik (i) goeie spesifieke eienskappe soos byvoorbeeld 'n hoë sterkte tot massa verhouding, en (ii) makroskopiese anisotropic wat deur die ontwerper getooi kan word na die strukturele behoefte van die spesifieke komponent/ontwerp, deur die veseloriëntasie en laminasievolgorde te varieer.

Ontwikkelingen ondervinding van strukturele analise van veselplastiekplate toon dat die effek van dwarsskuif meer prominent is as by isotropiese materiale. Die primêre oorsaak hiervan is die relatief lae dwarsskuifmodulus met betrekking tot die invlak trek- en drukmodulusse. 'n Sekundere oorsaak is dat 'n veselplastiek-plaat vir 'n sekere strukturele funksie dikwels dik-ker is as sy isotropiese (metaal) eweknie, as gevolg van laer absolute sterktes en styfhede. Die Kirchhoff-Love kinematiese plaat-buig-aannames wat plat ylakke loodreg op die middelvlak voor vervorming, beperk om plat en loodreg op die middelvlak te bly tydens vervorming, is dus onaanvaarbaar, omdat dwars-skuifvervorming effektief tot nul beperk word. Mindlin plaat-buigteorie wat genoemde plat vlakke slegs beperk om plat te bly, is dus meer korrek omdat dwarsskuifvervorming toegelaat word.

Die plaatbuig benadering van Mindlin is veralgemeen vir ge-lamineerde anisotropiese plate deur Yang, Norris en Stavsky [1], en etlike eindige element formulerings gebaseer op hierdie benadering is al geëvalueer. 'n Voorbeeld is die C₀ penalisasie-element van Reddy [2]. Hy ondersoek lineere en kwadratiese Serendipity-elemente sowel as die effek van integrasieorde. Noor en Mathers [3] vergelyk die werkverrigting van 8 en 12 node Serendipity-elemente, 9 en 16 node Lagrange-elemente en 'n 4 node Hermitiaan-element. Opvallend is dat die 8 node Serendipity-element beter reageer as die 9 node Lagrange-element in die toetsvoorbeeld. Pryor en Barker [4] het 'n 7 vryheidsgraad per node element ontwikkel wat volgens Whitney [5] se resultate, bevredigend reageer. Die vryheidsgrade bestaan uit verplasing, dwarsvlakrotasie en dwarsskuifvervorming. Lakshmina-rayana en Murthy [6] het 'n hoë orde driehoek element met 'n middelnode geformuleer volgens die YNS-teorie. Hierdie element is baie akkuraat, maar het 'n 45x45 styfheidsmatriks na kondensasie en hoë orde afgeleides word moeilik hanteer by randwaardes. Spilker et al [7 en 8] het 'n 8 node hibriede spanningselement geïmplimenteer wat uiters akkuraat is, maar relatief baie rekenaartyd verg. Na evaluasie van die literatuur en die sagteware-konstruksie van die ADINA eindige element pakket, is besluit om 'n 8 node Serendipity-element (soortgelyk aan die SQ8-element van Reddy [2]) gebaseer op die YNS-teorie, te formuleer en te implementeer.

Om die element te veralgemeen is dwarsskuifkorreksiefaktore, K₁ en K₂, ingevoer. Die motivering hiervoor is dat die Mind-lin-aannames lei tot 'n konstante dwarsskuifvervorming oor die dikte van die plaat, terwyl dit onmoontlik is omdat ewewig op die plaatoppervlak nul dwarsskuifvervorming daar vereis. Die globale effek van die Mindlin-gegenereerde dwarsskuif is dus foutief en word gekorrigeer deur K₁ en K₂. Verskeie formule-ringsbenaderings vir die numeriese bepaling van K₁ en K₂ is gepubliseer, byvoorbeeld Chow [9] en Bert [10], [11] en [12].

 

Makromeganika van Gelamineerde Veselversterkte Plate

Die algemene lineere verband tussen spanning en vervorming

kan vir die bousteen van 'n gelamineerde plaat, die ortotropiese lamina, vereenvoudig word na

(Sien Bylae A vir die toepaslike vergelykings vir )

Die veralgemeende Mindlin-benadering, wat grafies voorge-stel is in figuur 1, lei tot 'n verplasingsveld

 

 

met gepaardgaande vervormingsveld

waar

Die bydrae van al die laminas tot die plaat se styfheid word deur spanningsresultante gelewer. Figuur 2 toon die plaatkonfigurasie en figuur 3 die spanningsresultate.

 

 

 

 

Deur vergelyking 4 te kombineer met vergelykings 1 en 3 volg

of

met

Met behulp van skuifkorreksiefaktore word vergelyking 5 aangepas om die effek van skuifdeformasie beter te modelleer.

 

Eindige Element Formulering

Die isoparametriese kwadratiese element, getoon in figuur 4, volg die Serendipity-vormfunksies

 

 

dus

Membraanvervortning word gegee deur

waar

Buigvervorming: word gegee deur

Skuifvervorming word gegee deur

 

Die Element-Styfheidsmatriks

Vir hierdie twee-dimensionele eindige element word die interne vervormingsenergie per eenheidsarea gegee deur

met inagneming van vergelykings 5, 6, 7 en 8, volg

Die styfheidsmatriks kan nou bepaal word via die bekende variasie-tegniek as

 

Numeriese Resultate

'n Eindige element volgens vergelyking 9 is geïmplementeer as element COMPL in die ADINA eindige element pakket en vergelyk met analitiese en eindige element oplossings van [3], [6] en [8].

Ingeklemde plaat (Φ= 45°):

E_L = 206 GN/m²

E_T =5,1 GN/m²

v_LT = 0,25

G_LT = 3,1 GN/m²

G_TT = G_LT. = 2,5 GN/m²

K₁ = K₂ = 1

slankheid = 0,01

breedte = lengte = 10 m

belasting = 100 N/m²

Die analitiese oplossing [6] is 'n middelpuntverplasing van w_c = 3,1543.10-⁴ m.

 

 

Opgelegde plaat

Nege lae is gemodelleer, elk met 'n dikte van 0,011 m en 'n plaatslankheidsverhouding van 0,01. Dieselfde materiaal as vir die Φ= 45° ingeklemde plaat is gebruik en die analitiese oplossing [6] is w_c = 8,7054.10^-4m.

 

 

Opgelegde plaat [ - 5/5]:

 

Gevolgtrekking

Die COMPL-element berus op 'n eenvoudige formulering, is ongekompliseerd om toe te pas, en vergelyk numeries goed met ander demente wat vir dieselfde doel ontwikkel is.

Die effek van dwarsskuif en dinamiese uitbreiding word verder ondersoek.

 

Verwysings

1. Yang. P. C, Norris, C. H. en Stavsky, Y.,"'Elastic Wave Propagation in Heterogeneous Plates", Int. Journal of Solids and Structures, Vol. 2, 1966, pp. 665-684.         [ Links ]

2. Reddy, J. N.. "A Penalty Plate-Bending Element for Analysis of Laminated Anisotropic Composite Plates". Int. Journal of Numerical Methods in Engineering, Vol. 15, 1980, pp. 1187-1206.         [ Links ]

3. Noor, A. K. en Mathers, M. D., "Finite Element Analysis of Anisotropic Plates", Int. Journal of Numerical Methods in Engineering, Vol. 11, 1977, pp. 289-307.         [ Links ]

4. Pryor, C. W. en Barker R. M.. "A Finite Element Analysis including Transverse Shear Effects for Applications to Laminated Plates", Al A A Journal, Vol. 9, 1971, pp. 912-917.         [ Links ]

5. Whitney, J. M., "The Effect of Transverse Shear Deformation on the Bending of Laminated Plates", Journal of Composite Materials, Vol. 3, 1969, p. 534.         [ Links ]

6. Lakshminarayana, H. V. en Murthy, S. S., "A Shear-Flexible Triangle Finite Element Model for Laminated Composite Plates", Int. Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 20, 1984, pp. 591-623.         [ Links ]

7. Spilker. R. L., "An Invariant 8 Node Hybrid-Stress Element for Thin and Thick Multilayer Laminated Plates". Int. Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 20, 1984. pp. 573-587.         [ Links ]

8. Spilker, R. L., Chou, S. C. en Orringer, O., "Alternate Hybrid-Stress Elements for Analysis of Multilayer Composite Plates", Journal of Composite Materials, Vol. 11, 1977. pp. 51-59.         [ Links ]

9. Chow, T. S., "On the Propagation of Flexural Waves in an Orthotropic Laminated Plate and its Response to an Impulse Load", Journal of Composite Materials, Vol. 5, 1971., pp. 306-319.         [ Links ]

10. Bert, C. W., "Simplified Analysis of Static Shear Factors for Beams of Non-Homogeneous Cross Section", Journal of Composite Materials, Vol. 7, 1973. pp. 525-529.         [ Links ]

11. Bert, C. W., "Transverse Shear Effects in Bimodular Composite Laminates", Journal of Composite Materials, Vol. 17, 1983, pp. 228-298.         [ Links ]

12. Bert, C. W., "A Critical Evaluation of New Plate Theories Applied to Laminated Composites", Composite Structures, Vol. 2, 1984, pp. 329-347.         [ Links ]

 

 

BYLAE A: VERGELYKINGS

Figuur A1 is van toepassing.