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Koers

versão On-line ISSN 2304-8557
versão impressa ISSN 0023-270X

Koers (Online) vol.76 no.4 Pretoria  2011

 

(Oor)aftelbaarheid

 

(Non)denumerability

 

 

D.F.M. Strauss

Departement Filosofie, Universiteit van die Vrystaat, Blomfontein. E-pos: dfms@cknet.co.za

 

 


OPSOMMING

Hierdie artikel handel oor die ontstaan van die moderne versamelingsleer wat, volgens Meschkowski, saamval met die eerste bewys wat Cantor in 1874 gepubliseer het vir die ooraftelbaarheid van die reële getalle. Later het Cantor sy bekende dia-gonaalbewys ontwikkel, wat die kern van hierdie artikel vorm. Die beredenering van die onderhawige artikel is gerig op die implisiete veronderstelling van die diagonaalbewys, naamlik die aanvaarding van die aktueel-oneindige (wat meer gepas die opeens-oneindige genoem kan word). Sonder hierdie aanname kan nie tot ooraftelbaarheid gekonkludeer word nie. Verskeie wiskundiges en wiskundige tradisies het gedurende die twintigste eeu die gebruik van die opeens-oneindige in die wiskunde bevraagteken. In die besonder word nader ingegaan op twee prominente teenstanders van die opeens-oneindige, naamlik Kaufmann en Wolff. Die sirkelredenasie wat in albei benaderings opgesluit lê, word uitgewys en as alternatief word 'n verantwoording van die gebruik van die opeens-oneindige verduidelik wat nie dit wat bewys wil word as uitgangspunt neem nie. Tegelyk word die beweerde eksaktheid (en neutraliteit) van die wiskunde bevraagteken (in die gees van 'Koers' as Christelik-wetenskaplike tydskrif). Hierdie besinning sien egter daarvan af om nader op die aard van die wiskunde in te gaan (deur byvoorbeeld ook die topologie, kategorieteorie en toposteorie te betrek) - wat ons gedagtegang sou heenvoer na die kontemporêre opvattings van persone soos Tait, Penelope en Shapiro, onder meer in hulle rol as redakteurs van en bydraers tot die omvangryke "Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic" (2005).

Kernbegrippe: (nie-)eksak, aftelbaar, diagonaal-bewys, oneindige totaliteit, ooraftelbaar, opeens-oneindig, suksessief-oneindig


ABSTRACT

The focus of this article is the rise of modern set theory which, according to Meschkowski, coincides with the first proof given in 1874 by Cantor of the non-denumerability of the real numbers. Later on he developed his well-known diagonal proof, which occupies a central position in this article. The argument of this article is directed towards the implicit supposition of the diagonal proof, to wit the acceptance of the actual infinite (preferably designated as the at once infinite). Without this assumption no conclusion to non-denumerability is possible. Various mathematicians and mathematical traditions of the twentieth century questioned the use of the actual infinite. A closer investigation is conducted in respect of two opponents of the actual infinite, namely Kaufmann and Wolff. The circular reasoning contained in their approach is highlighted and as alternative a non-circular understanding of the at once infinite is explained. At the same time the assumed exact nature (and neutrality) of mathematics is questioned (in the spirit of Koers' as a Christian academic journal). This contemplation disregards the question of what mathematics is (for example by including topology, category theory and topos theory), which would have diverted our attention to contemporary views of figures such as Tait, Penelope and Shapiro who, among others, acts as the editors of and contributors to the encompassing work 'Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic' (2005).

Key concepts: (non-)exact, at once infinite, denumerable, diagonal proof, infinite totality, non-denumerable, successive infinite


 

 

Full text available only in PDF format.

 

 

Geraadpleegde bronne

AQUINAS, T. 1945. Basic writings of Thomas Aquinas: annotated with an introduction by Anton C. Pegis. New York: Random House.         [ Links ]

AUGUSTINUS, A. 2006. Confessiones. Indianapolis: Hackett.         [ Links ]

BECKER, O. 1964. Grundlagen der Mathematik in geschichtlicher Entwicklung. Freiburg: Alber.         [ Links ]

BECKER, O., Hsrg. 1965. Zur Geschichte der griechischen Mathematik. Darm-stadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft.         [ Links ]

BROUWER, L.E.J. 1907. Over de grondslagen der Wiskunde. Amsterdam: Maas & Van Suchtelen.         [ Links ]

CANTOR, G. 1895-1897. Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre. (In Mathematische Annalen, 46:481-512; 49:207-246 - ook opgeneem in Cantor, 1962:282-356.         [ Links ])

CANTOR, G. 1962 [1932]. Gesammelte Abhandlungen Mathematischen und Philosophischen Inhalts. Hildesheim: Oldenburg Verlag.

DEDEKIND, R. 1887. Was sind und was sollen die Zahlen? Brauschweig: Friederich Vieweg.         [ Links ]

DUMMETT, M. 1977. Elements of Intuitionism. Oxford: Clarendon.         [ Links ]

ECHTERNACH, H. 1972. Ewigkeit. (In Ritter, J., Gründer, K. & Gabriel, G., Hrsg. Historisches Wörterbuch der Philosophie. Basel-Stuttgart: Schwabe. Tl. 2:841.         [ Links ])

FISCHER, L. 1933 Die Grundlagen der Philosophie und der Mathematik, Leipzig: Felix Meiner Verlag. http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/zamm.19420220315/abstract Datum van gebruik: 10 Des. 2010.         [ Links ]

FRAENKEL, A. 1928. Einleitung in die Mengenlehre. Berlin: Springer.         [ Links ]

FRAENKEL, A., BAR-HILLEL, Y., LEVY, A. & VAN DALEN, D. 1973. Foundations of set theory. Amsterdam: North Holland.         [ Links ]

GALILEO, G. 1973 [1638]. Unterredungen und mathematische Demonstration über zwei neue Wissenszweige, die Mechanik und die Fallgesetze betreffend. Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft.

GRÜNBAUM, A. 1952. A consistent conception of the extended linear continuum as an aggregate of unextended elements. Philosophy of science, 19(2):288-306.         [ Links ]

HEYTING, A. 1971. Intuitionism. Amsterdam: North Holland.         [ Links ]

HILBERT, D. 1925. Über das Unendliche. Mathematische Annalen, 95:161-190.         [ Links ]

HUSSERL, E. 1979. Aufsätze und Rezensionen (1890-1910). Husserliana: Nijhoff. (Edmund Husserl, Gesammelte Werke (Collected Works), Volume XXII, van die Husserl Archives in Leuven, onder leiding van Samuel Ijsseling met die hulp van Rudolf Boehm, Uitgewer met teks toevoegings, Bernhard Rang, Den Haag: Martinus Nijhoff.         [ Links ])

KANT, I. 1956 [1787]. Kritik der reinen Vernunft. 2. Ed. Hamburg: Felix Meiner Editions.

KAUFMANN, F. 1930. Das Unendliche in der Mathematik und seine Ausschaltung. Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft.         [ Links ]

KÖRNER, S. 1972. Mathematik als Wissenschaft formaler Systeme: Exposition. (In Meschkowski, H., Hrsg. Grundlagen der modernen Mathematik. S. 124-156.         [ Links ])

LAKOFF, G. & NÚÑEZ, R.E. 2000. Where mathematics comes from: how the embodied mind brings mathematics into being. New York: Basic Books.         [ Links ]

LORENZEN, P. 1972. Methodisches Denken: das Aktual-Unendliche in der Mathematik. (In Meschkowski, H. Hrsg. Grundlagen der modernen Mathematik. S. 157-178.         [ Links ])

MESCHKOWSKI, H. 1972. Der Beitrag der Mengenlehre zur Grand-lagenforschung. (In Meschkowski, H., Hrsg. Grundlagen der modernen Mathematik. S. 21-55.         [ Links ])

MESCHKOWSKI BERNAYS, P. 1976. Abhandlungen zur Philosophie der Mathematik. Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft.         [ Links ]

PLOTINUS. 1984. Enneads. Trans. by A.H. Armstrong. Cambridge: Harvard University Press.         [ Links ]

POINCARÉ, H. 1910. Ueber transfinite Zahlen. (In Poincaré. H. Sechs Vorträge aus der reinen Mathematik und mathematischen Physik. Leipzig: Teubner.) http://www.gutenberg.org/ebooks/15267 Date of access: 10 Dec. 2010.         [ Links ]

ROBINSON, A. 1966. Non-standard analysis. Amsterdam: North Holland.         [ Links ]

ROBINSON, A. 1979. Selected papers of Abraham Robinson. New Haven: Yale University Press.         [ Links ]

SCHILDER, K. 1953. Christus en cultuur. Franeker: Wever.         [ Links ]

SCHOLZ, H. 1969. Review of Philosophy of mathematics and natural science (H. Weyl. 1949. Mathesis Universalis: Abhandlungen zur Philosophie als strenger Wissenschaft). The Journal of symbolic logic: 15.         [ Links ]

SHAPIRO, S. 2005. The Oxford handbook of philosophy of mathematics and logic. Oxford: Oxford University Press.         [ Links ]

STRAUSS, D.F.M. 2009. Philosophy: discipline of the disciplines. Grand Rapids: Paideia.         [ Links ]

WEYL, H. 1921. Ueber die neue Grundlagenkrise der Mathematik. Mathematische Zeitschrift, 10:39-79.         [ Links ]

WEYL, H. 1966. Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft. Wenen: Oldenburg.         [ Links ]

WOLFF, K-H. 2010a. What is truth? http://www.fam.tuwien.ac.at/~wolff/what_is_truth.htm Date of access: 10 Dec. 2010.         [ Links ]

WOLFF, K-H. 2010b. Cantors zweites Diagonalargument enthält einen Widerspruch. http://www.fam.tuwien.ac.at/~wolff/widerspruch_in_cantors_zweitem_diagonalverfahren.htm Datum van gebruik: 10 Des. 2010.         [ Links ]

WOLFF, K-H. 2010c. Widersprüche in Beweisen der Existenz überabzählbarer Mengen (neue Fassung). http://www.fam.tuwien.ac.at/~wolff/widerueberabzae_hlbar.htm Datum van gebruik: 10 Des. 2010.         [ Links ]

WOLFF, K-H. 2010d. Überabzählbar? http://www.fam.tuwien.ac.at/~wolff/ueberabzaehlbar.pdf Datum van gebruik: 10 Des. 2010.         [ Links ]

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